проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраического уравнения

a₀zⁿ + a₁z^n-1 + ... + a_n-1z + a_n = 0,

имеющих положительные действительные части. В случае коэффициентов a₀, a₁, ..., a_n справедлива формула

(1)

где V - число знакоперемен в ряде чисел a₀, D₁, , ..., а D_l (l = 1, 2, ..., n - определители Гурвица (см. Гурвица критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда некоторые из D_l равны нулю. В случае l = 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р. - Г. п. исследовалась ранее французским математиком Ш. Эрмитом (1856) и английским механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрическим правилом. Точка, изображающая комплексную величину

a₀(iω) ⁿ + a₁(iω) ^n-1... + a_n,

при изменении ω от 0 до + ∞ описывает кривую. Если при этом полярный угол θ точки кривой получает приращение

Δθ = ν, то

k = (n - ν)/2. (2)

Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k = 0 из формулы (2) следует ν = n, что даёт получивший широкое распространение в технической литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).

В приложениях встречаются обобщения Р. - Г. п. на случай комплексных коэффициентов a₀, a₁, ..., a_n и на случай трансцендентных уравнений.

критерий, позволяющий узнать, когда все корни многочлена

р (z) = a₀zⁿ + a₁z^n-1 + ... + a_n-1z + a_n

имеют отрицательные действительные части. Например, для многочленов с действительными коэффициентами a₀ > 0, a₁, ..., a_n Г. к. гласит: чтобы все корни многочлена p(z) имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n соблюдались неравенства:

Этот критерий был найден нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz) в 1895. Г. к. применяется главным образом для определения устойчивости решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. Устойчивость системы автоматического управления).

Лит.: Курош А. Г., Курс высший алгебры, 9 изд., М. - Л., 1968; Четаев Н. Г., Устойчивость движения М. - Л., 1946.

одна из известных проблем теории чисел; заключается в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. Эту проблему выдвинул в 1742 Х. Гольдбах в письме к Л. Эйлеру. В ответ Эйлер заметил, что для решения проблемы достаточно доказать, что каждое чётное число есть сумма двух простых. В течение долгого времени не удавалось найти никаких путей исследования Г. п. В 1923 Г. Харди и Дж. Литлвуду удалось показать, что если верны некоторые теоремы (не доказанные и сейчас) относительно так называемых L-pядов Дирихле, то всякое достаточно большое нечётное число есть сумма трёх простых чисел. Крупным успехом на пути решения Г. п. была доказанная Л. Г. Шнирельманом (1930) теорема о том, что всякое целое число, большее единицы, есть сумма ограниченного числа простых чисел. В 1937 И. М. Виноградов доказал, что всякое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел, то есть по существу решил Г. п. для нечётных чисел. Это - одно из крупнейших достижений современной математики. Созданный при решении Г. п. метод И. М. Виноградова позволяет решать и ряд существенно более общих задач. Другое доказательство теоремы о представлении достаточно большого нечётного числа в виде суммы трёх простых было дано в 1945 Ю. В. Линником. Задача о разбиении чётного числа на сумму двух простых ещё не решена.

Лит.: Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, "Тр. Математического института АН СССР", 1947, т. 23; Чудаков Н. Г., О проблеме Гольдбаха, "Успехи математических наук", 1938, в. 4.